Методика решения уравнений и неравенств

Основные идеи этого пункта достаточно хорошо видны из примеров:

1. Решить уравнение:.

Решение. Левая часть данного уравнения не превосходит 2, а правая- не меньше 2. Следовательно, равенство может иметь место лишь при условии, что левая и правая части равны 2, т.е. x = 0. {LINKS}

Замечание. Данная ситуация, когда наименьшее значение функции, расположенной в одной части уравнения, равно наибольшему значению функции, расположенной в другой части, может быть обобщена. Более общий случай – уравнения вида f (x) = φ (x), для которых при всех допустимых x (формально мы можем переписать это уравнение в виде

f (x) = φ (x) = 0, в результате приходим к уже рассмотренной ситуации, поскольку наибольшее значение правой части равно нулю).

2. Решить уравнение:.

Докажем, что данное уравнение не имеет решений. Перейдем к следствию (потенцируем): .

Оценим левую часть на основании неравенства между средним геометрическим и средним арифметическим

:

т.е. левая часть меньше правой. Уравнение не имеет решений.

Ответ. Нет решения.

3. Решить систему уравнений:

Решение. Докажем, что .

Пусть для определенности x5 > x4, тогда из первых двух уравнений получим , откуда и тем более . Далее из третьего и четвертого получаем и тем более . Из последней пары находим . Получилось противоречие ( и , т.е. , а предположили, что ).

Значит, , отсюда и т.д., все неизвестные равны между собой.

Ответ. (0, 0, 0, 0,0); .

Нестандартные по формулировке задачи, связанные с уравнениями или неравенствами.

К данной категории, в частности, относятся задачи, в которых требуется определить число корней заданного уравнения, доказать существование корня на определенном промежутке, решить уравнение или неравенство на заданном промежутке. Рассмотрим несколько примеров.

1. Доказать, что уравнение имеет одно положительное решение и одно отрицательное решение.

Решение. Единственность положительного решения достаточно очевидна. Это следует из того, что при , где f (x)-левая часть заданного уравнения, т.е. f(x) при монотонно возрастает, а .

Великая педагогика:

Место географии в учебных планах общеобразовательных учреждений
Согласно традиционному учебному плану, который до недавнего времени был единым для всех школ страны, география изучалась в основной школе и один курс (10 кл.) – в полной средней школе. В период реформ Министерство образования РФ разработало специальный документ – Временный государственный образоват ...

Основные принципы русской орфографии
Морфологический принцип. Орфографические принципы – это руководящие идеи выбора букв носителем языка там, где звук может быть обозначен вариативно. Природу и систему русской орфографии раскрывают с помощью ее принципов: морфологического, фонематического, традиционно-исторического, фонетического и п ...

Этнический характер совершенного человека
В устном творчестве всех народов герои характеризуются многими чертами, которые свидетельствуют о богатстве человеческой натуры. Даже если о том или ином положительном персонаже говорится только одним или двумя словами, то эти слова оказываются столь емкими, что в них отражается весь спектр характе ...