Методика решения уравнений и неравенств

Основные идеи этого пункта достаточно хорошо видны из примеров:

1. Решить уравнение:.

Решение. Левая часть данного уравнения не превосходит 2, а правая- не меньше 2. Следовательно, равенство может иметь место лишь при условии, что левая и правая части равны 2, т.е. x = 0. {LINKS}

Замечание. Данная ситуация, когда наименьшее значение функции, расположенной в одной части уравнения, равно наибольшему значению функции, расположенной в другой части, может быть обобщена. Более общий случай – уравнения вида f (x) = φ (x), для которых при всех допустимых x (формально мы можем переписать это уравнение в виде

f (x) = φ (x) = 0, в результате приходим к уже рассмотренной ситуации, поскольку наибольшее значение правой части равно нулю).

2. Решить уравнение:.

Докажем, что данное уравнение не имеет решений. Перейдем к следствию (потенцируем): .

Оценим левую часть на основании неравенства между средним геометрическим и средним арифметическим

:

т.е. левая часть меньше правой. Уравнение не имеет решений.

Ответ. Нет решения.

3. Решить систему уравнений:

Решение. Докажем, что .

Пусть для определенности x5 > x4, тогда из первых двух уравнений получим , откуда и тем более . Далее из третьего и четвертого получаем и тем более . Из последней пары находим . Получилось противоречие ( и , т.е. , а предположили, что ).

Значит, , отсюда и т.д., все неизвестные равны между собой.

Ответ. (0, 0, 0, 0,0); .

Нестандартные по формулировке задачи, связанные с уравнениями или неравенствами.

К данной категории, в частности, относятся задачи, в которых требуется определить число корней заданного уравнения, доказать существование корня на определенном промежутке, решить уравнение или неравенство на заданном промежутке. Рассмотрим несколько примеров.

1. Доказать, что уравнение имеет одно положительное решение и одно отрицательное решение.

Решение. Единственность положительного решения достаточно очевидна. Это следует из того, что при , где f (x)-левая часть заданного уравнения, т.е. f(x) при монотонно возрастает, а .

Великая педагогика:

Развитие социальной сети и реализация социального партнерства с целью формирования социального поведения детей-сирот
Социальная среда представляет собой системокомплекс общечеловеческих и этнических ценностей, традиций, норм и правил поведения, регулирующих жизнедеятельность людей, определяющих рамки их социальной активности. Она, с одной стороны, является источником многих трудностей, связанных с процессом лично ...

Описание наиболее интересных форм и методов организации учебного процесса
Так как Франция – одна из первых стран, начавших практиковать дистанционные методы обучения, то хотелось бы поближе познакомится формами и методами организации именно этого вида обучения. В этом разделе приводятся наиболее интересные формы организации дистанционного учебного порцесса. Учебные занят ...

Прогнозирование при подготовке эксперимента
На основе анализа всей программы эксперимента, обязательного учета реальных учебных и воспитательных возможностей конкретных учащихся, обсуждения программы с коллегами, ее научной экспертизы учитель-экспериментатор, прежде чем приступить к реализации программы, к дальнейшему поиску, обязан сделать ...