Методика решения уравнений и неравенств

и доказать, что при t > 1 . Покажем другой способ:

.

Получившаяся функция, очевидно, является убывающей (основание растет, под знаком логарифма функция убывает). {LINKS}

Наше уравнение имеет вид: , значит, . Слева функция возрастающая, следовательно, решение единственно, оно легко находится подбором: x = 4.

Ответ. x = 4 .

Уравнения вида

f(

f (

x) ) =

x

. При решении уравнений указанного вида полезна бывает теорема:

Если y = f(x) – монотонно возрастающая функция, то уравнения

f(x) = x (А)

и

f (f (x)) = x (Б)

эквивалентны.

Доказательство. То, что уравнение (Б) является следствием уравнения (А), очевидно: любой корень (А) удовлетворяет (Б). (Если

f (x0) = x0, то f (f (x0)) = f (x0) = x0.). Докажем, что любой корень уравнения (Б) удовлетворяет уравнению (А). Пусть x0 такое, что f (f (x0)) = x0.Предположим, что f (x0) ≠ x0 и для определенности f (x0) > x0. Тогда f (f (x0)) > f (x0) > x0, что противоречит предположению ( f (f (x0)) = x0). Теорема доказана.

Верна ли теорема для монотонно убывающей функции?

Замечание. Если y = f (x) монотонно возрастает, то при любом k уравнения и f (x) = x эквивалентны.

Приведем несколько примеров использования этой теоремы.

1. Решить уравнение:.

Решени е. Перепишем уравнение . Рассмотрим функцию . Эта функция монотонно возрастает. Имеем уравнение

f (f (x)) =x. В соответствии с теоремой заменяем его на эквивалентное уравнение f (x) = x или .

Ответ.

.

2. Решить уравнение:

.

Решение. Преобразуем уравнение: .

Данное уравнение имеет вид: f (f (x)) = x, где .

Согласно теореме имеем эквивалентное уравнение: ,

.

Ответ. [14].

3. Решить систему уравнений:.

Решение. Рассмотрим функцию . Поскольку

при всех t, то f (t) возрастает.

Система имеет вид y = f (x), z = f (y), x = f (z), т.е. x = f (f (f (x))).

Согласно теореме x удовлетворяет уравнению f (x) = x или

.

Ответ. (0, 0, 0), (-1, -1, -1).

Использование экстремальных свойств рассматриваемых функций. Оценки.

Великая педагогика:

Обобщение опыта работы преподавателей по развитию орфографической зоркости у младшего школьника
Как научить правильно писать – эта проблема всегда волновала учителей и ученых. Как сделать так, чтобы количество ошибок уменьшалось, а письмо стало бы более осознанным и правильным. Хорошо, когда ребенку «дано» от Бога: правила чувствует интуитивно и пишет правильно. Но ведь таких единицы. Известн ...

Этапность, средства, методы и приемы формирования коммуникативных умений у детей старшего дошкольного возраста
Современные исследователи предлагают различные способы формирования коммуникативных умений у детей при организации на практике совместной деятельности взрослого с детьми. В частности, Н.А. Короткова раскрывает такие способы, как тематическое планирование видов детской деятельности и мотивация с исп ...

Практические основы авторской театрально-педагогической технологии «Театральные логоминутки» в работе с детьми дошкольного возраста
Своевременное и полноценное формирование речи в дошкольном возрасте – одно из основных условий нормального развития ребенка и в дальнейшем его успешного обучения в школе. Работа по этому разделу строилась на основе новейших методик и приемов для развития разговорной, диалогической, монологической, ...