Методика решения уравнений и неравенств

и доказать, что при t > 1 . Покажем другой способ:

.

Получившаяся функция, очевидно, является убывающей (основание растет, под знаком логарифма функция убывает). {LINKS}

Наше уравнение имеет вид: , значит, . Слева функция возрастающая, следовательно, решение единственно, оно легко находится подбором: x = 4.

Ответ. x = 4 .

Уравнения вида

f(

f (

x) ) =

x

. При решении уравнений указанного вида полезна бывает теорема:

Если y = f(x) – монотонно возрастающая функция, то уравнения

f(x) = x (А)

и

f (f (x)) = x (Б)

эквивалентны.

Доказательство. То, что уравнение (Б) является следствием уравнения (А), очевидно: любой корень (А) удовлетворяет (Б). (Если

f (x0) = x0, то f (f (x0)) = f (x0) = x0.). Докажем, что любой корень уравнения (Б) удовлетворяет уравнению (А). Пусть x0 такое, что f (f (x0)) = x0.Предположим, что f (x0) ≠ x0 и для определенности f (x0) > x0. Тогда f (f (x0)) > f (x0) > x0, что противоречит предположению ( f (f (x0)) = x0). Теорема доказана.

Верна ли теорема для монотонно убывающей функции?

Замечание. Если y = f (x) монотонно возрастает, то при любом k уравнения и f (x) = x эквивалентны.

Приведем несколько примеров использования этой теоремы.

1. Решить уравнение:.

Решени е. Перепишем уравнение . Рассмотрим функцию . Эта функция монотонно возрастает. Имеем уравнение

f (f (x)) =x. В соответствии с теоремой заменяем его на эквивалентное уравнение f (x) = x или .

Ответ.

.

2. Решить уравнение:

.

Решение. Преобразуем уравнение: .

Данное уравнение имеет вид: f (f (x)) = x, где .

Согласно теореме имеем эквивалентное уравнение: ,

.

Ответ. [14].

3. Решить систему уравнений:.

Решение. Рассмотрим функцию . Поскольку

при всех t, то f (t) возрастает.

Система имеет вид y = f (x), z = f (y), x = f (z), т.е. x = f (f (f (x))).

Согласно теореме x удовлетворяет уравнению f (x) = x или

.

Ответ. (0, 0, 0), (-1, -1, -1).

Использование экстремальных свойств рассматриваемых функций. Оценки.

Великая педагогика:

Взаимосвязь мотивов учения и успешности учебной деятельности
Исследование проводилось в гимназии № …г. . Выборку испытуемых составили 60 учеников: по 20 человек второго, третьего и четвертого классов. В составе выборки было 55% девочек и 45% мальчиков. Все дети обучаются в гимназии с первого класса. Одним из важных показателей, свидетельствующем о познавател ...

Правила игры и основные формы проведения занятий
Сущность игры в волейбол заключается в том, что она проводится между двумя командами по 6 человек каждая, на площадке прямоугольной формы длиной 18 и шириной 9 м, разделенной сеткой на две половины. Игроки одной команды, передавая руками друг другу мяч, стремятся третьим касанием (ударом или переда ...

Технология обучения как учебного исследования
В современном мире происходит трансформация отношения к образованию как к социальному институту. «Во всех системах практики и типах профессий возрастает роль и значение способностей целенаправленно выстраивать общение и коммуникативные связи, осуществлять действия на основе предварительно выработан ...