Методика решения уравнений и неравенств

и доказать, что при t > 1 . Покажем другой способ:

.

Получившаяся функция, очевидно, является убывающей (основание растет, под знаком логарифма функция убывает). {LINKS}

Наше уравнение имеет вид: , значит, . Слева функция возрастающая, следовательно, решение единственно, оно легко находится подбором: x = 4.

Ответ. x = 4 .

Уравнения вида

f(

f (

x) ) =

x

. При решении уравнений указанного вида полезна бывает теорема:

Если y = f(x) – монотонно возрастающая функция, то уравнения

f(x) = x (А)

и

f (f (x)) = x (Б)

эквивалентны.

Доказательство. То, что уравнение (Б) является следствием уравнения (А), очевидно: любой корень (А) удовлетворяет (Б). (Если

f (x0) = x0, то f (f (x0)) = f (x0) = x0.). Докажем, что любой корень уравнения (Б) удовлетворяет уравнению (А). Пусть x0 такое, что f (f (x0)) = x0.Предположим, что f (x0) ≠ x0 и для определенности f (x0) > x0. Тогда f (f (x0)) > f (x0) > x0, что противоречит предположению ( f (f (x0)) = x0). Теорема доказана.

Верна ли теорема для монотонно убывающей функции?

Замечание. Если y = f (x) монотонно возрастает, то при любом k уравнения и f (x) = x эквивалентны.

Приведем несколько примеров использования этой теоремы.

1. Решить уравнение:.

Решени е. Перепишем уравнение . Рассмотрим функцию . Эта функция монотонно возрастает. Имеем уравнение

f (f (x)) =x. В соответствии с теоремой заменяем его на эквивалентное уравнение f (x) = x или .

Ответ.

.

2. Решить уравнение:

.

Решение. Преобразуем уравнение: .

Данное уравнение имеет вид: f (f (x)) = x, где .

Согласно теореме имеем эквивалентное уравнение: ,

.

Ответ. [14].

3. Решить систему уравнений:.

Решение. Рассмотрим функцию . Поскольку

при всех t, то f (t) возрастает.

Система имеет вид y = f (x), z = f (y), x = f (z), т.е. x = f (f (f (x))).

Согласно теореме x удовлетворяет уравнению f (x) = x или

.

Ответ. (0, 0, 0), (-1, -1, -1).

Использование экстремальных свойств рассматриваемых функций. Оценки.

Великая педагогика:

Языковые и лексические игры при обучении немецкому языку
Место игр на уроке и отводимое игре время зависит от ряда факторов: а) подготовки учащихся; б) изучаемого материала; в) конкретных целей и условий урока. Если игра используется в качестве тренировочного упражнения при первичном закреплении, то ей можно отвести 20-25 минут урока. В дальнейшем эта иг ...

Исследование коммуникативных умений у детей с умственной отсталостью в степени дебильности
Исследование проводилось в специальной (коррекционной) общеобразовательной школе – интернате VIII вида. В исследовании принимали участие 15 учеников 1 класса (12 мальчиков, 3 девочки; возраст от 8 до 11 лет) и 15 учеников 4 класса (11 мальчиков, 4 девочки; возраст от 11 до 14 лет). Диагноз: олигофр ...

Грядущая реформа русской орфографии
Как известно, населению России грозит орфографическая реформа. Новый закон «О русском языке», проект которого ждет своей очереди в Думе, грозит уголовными наказаниями за безграмотность. Авторы этого законодательного акта не дали себе труда задуматься, что в стране уже действует мощная «орфографичес ...