и доказать, что при t > 1 . Покажем другой способ:
.
Получившаяся функция, очевидно, является убывающей (основание растет, под знаком логарифма функция убывает). {LINKS}
Наше уравнение имеет вид: , значит, . Слева функция возрастающая, следовательно, решение единственно, оно легко находится подбором: x = 4.
Ответ. x = 4 .
Уравнения вида
f(
f (
x) ) =
x
. При решении уравнений указанного вида полезна бывает теорема:
Если y = f(x) – монотонно возрастающая функция, то уравнения
f(x) = x (А)
и
f (f (x)) = x (Б)
эквивалентны.
Доказательство. То, что уравнение (Б) является следствием уравнения (А), очевидно: любой корень (А) удовлетворяет (Б). (Если
f (x0) = x0, то f (f (x0)) = f (x0) = x0.). Докажем, что любой корень уравнения (Б) удовлетворяет уравнению (А). Пусть x0 такое, что f (f (x0)) = x0.Предположим, что f (x0) ≠ x0 и для определенности f (x0) > x0. Тогда f (f (x0)) > f (x0) > x0, что противоречит предположению ( f (f (x0)) = x0). Теорема доказана.
Верна ли теорема для монотонно убывающей функции?
Замечание. Если y = f (x) монотонно возрастает, то при любом k уравнения и f (x) = x эквивалентны.
Приведем несколько примеров использования этой теоремы.
1. Решить уравнение:.
Решени е. Перепишем уравнение . Рассмотрим функцию . Эта функция монотонно возрастает. Имеем уравнение
f (f (x)) =x. В соответствии с теоремой заменяем его на эквивалентное уравнение f (x) = x или .
Ответ.
.
2. Решить уравнение:
.
Решение. Преобразуем уравнение: .
Данное уравнение имеет вид: f (f (x)) = x, где .
Согласно теореме имеем эквивалентное уравнение: ,
.
Ответ. [14].
3. Решить систему уравнений:.
Решение. Рассмотрим функцию . Поскольку
при всех t, то f (t) возрастает.
Система имеет вид y = f (x), z = f (y), x = f (z), т.е. x = f (f (f (x))).
Согласно теореме x удовлетворяет уравнению f (x) = x или
.
Ответ. (0, 0, 0), (-1, -1, -1).
Использование экстремальных свойств рассматриваемых функций. Оценки.
Великая педагогика:
Организационное строение педагогического коллектива
В социально-психологическом анализе коллектива выделяют формальную (официальную) и неформальную (неофициальную) организационные структуры. В этом случае под структурой понимаются относительно устойчивые взаимосвязи между членами коллектива. Формальная структура коллектива обусловлена официальным ра ...
Жанры сюжетной живописи
Существует достаточно четкое разделение живописи по сюжетам и объектам изображений, причем внутри каждой группы выделяются еще несколько более конкретных жанров. Каждый из жанров может быть выполнен в той технике живописи, которая кажется художнику наиболее подходящей. Историческая живопись – это и ...
Коммуникативное развитие детей с умственной отсталостью
Развитие умственно отсталого ребенка с первых дней жизни существенно отличается от развития нормальных детей. Как правило, наблюдается отсутствие или значительное снижение интереса к окружающему, общая патологическая инертность (что, однако, не исключает крикливости, беспокойства, раздражительности ...