Методика решения уравнений и неравенств

и доказать, что при t > 1 . Покажем другой способ:

.

Получившаяся функция, очевидно, является убывающей (основание растет, под знаком логарифма функция убывает). {LINKS}

Наше уравнение имеет вид: , значит, . Слева функция возрастающая, следовательно, решение единственно, оно легко находится подбором: x = 4.

Ответ. x = 4 .

Уравнения вида

f(

f (

x) ) =

x

. При решении уравнений указанного вида полезна бывает теорема:

Если y = f(x) – монотонно возрастающая функция, то уравнения

f(x) = x (А)

и

f (f (x)) = x (Б)

эквивалентны.

Доказательство. То, что уравнение (Б) является следствием уравнения (А), очевидно: любой корень (А) удовлетворяет (Б). (Если

f (x0) = x0, то f (f (x0)) = f (x0) = x0.). Докажем, что любой корень уравнения (Б) удовлетворяет уравнению (А). Пусть x0 такое, что f (f (x0)) = x0.Предположим, что f (x0) ≠ x0 и для определенности f (x0) > x0. Тогда f (f (x0)) > f (x0) > x0, что противоречит предположению ( f (f (x0)) = x0). Теорема доказана.

Верна ли теорема для монотонно убывающей функции?

Замечание. Если y = f (x) монотонно возрастает, то при любом k уравнения и f (x) = x эквивалентны.

Приведем несколько примеров использования этой теоремы.

1. Решить уравнение:.

Решени е. Перепишем уравнение . Рассмотрим функцию . Эта функция монотонно возрастает. Имеем уравнение

f (f (x)) =x. В соответствии с теоремой заменяем его на эквивалентное уравнение f (x) = x или .

Ответ.

.

2. Решить уравнение:

.

Решение. Преобразуем уравнение: .

Данное уравнение имеет вид: f (f (x)) = x, где .

Согласно теореме имеем эквивалентное уравнение: ,

.

Ответ. [14].

3. Решить систему уравнений:.

Решение. Рассмотрим функцию . Поскольку

при всех t, то f (t) возрастает.

Система имеет вид y = f (x), z = f (y), x = f (z), т.е. x = f (f (f (x))).

Согласно теореме x удовлетворяет уравнению f (x) = x или

.

Ответ. (0, 0, 0), (-1, -1, -1).

Использование экстремальных свойств рассматриваемых функций. Оценки.

Великая педагогика:

Влияние занятий по изобразительной деятельности на развитие навыков пейзажного рисования
Итоги констатирующего эксперимента позволили спроектировать дальнейшую работу по развитию навыков пейзажного рисования на занятиях для детей старшего дошкольного возраста. Для этого, в рамках формирующего эксперимента, были поставлены следующие задачи: Разработать и апробировать систему занятий, сп ...

Использование диалогов на уроках иностранного языка
Говорение – продуктивный (экспрессивный) вид речевой деятельности (РД), посредством которого совместно с аудированием осуществляется устно-речевое общение. Содержанием говорения является выражение мыслей, передача информации в устной форме. Говорение как вид РД характеризуется следующими важнейшими ...

Понятие "семья" в психолого-педагогической литературе
Семья - это первичная ячейка социальной общности людей, основанная на браке или кровном родстве, один из самых древних социальных институтов, возникший значительно раньше классов, наций, государств. Семья представляет собой сложное социальное явление, в котором переплетаются многообразные формы отн ...