Особенности решения задач с параметрами

Общеизвестно, что на вступительных экзаменах в вузы часто встречаются задачи, которым в «традиционном» школьном курсе в силу различных причин уделяется мало внимания.

Одним из видов таких упражнений являются задачи, содержащие параметры. В школьных учебниках практически нет заданий на эту тему. Однако овладение методикой их решения мне кажется очень полезным: оно существенно повышает уровень логической подготовки учащихся, позволяет чуть по-новому, как бы изнутри взглянуть на такие «банальные» функциональные зависимости, подробно анализируемые школьной программой, как, к примеру, линейные и квадратные многочлены. {LINKS}

Уравнения и неравенства с параметрами.

В подобного рода задачах встречаются два вида символов: неизвестные или переменные (обычно обозначаются буквами x, y, z,…) и параметры (a,b,c,…). Конечно разница между ними весьма условна, в известной степени можно сказать, что параметр – это переменная, значение которой считается фиксированным, и каждое значение параметра определяет относительно заданного неизвестного соответствующее уравнение (неравенство, систему). Иными словами, уравнение с параметром является фактически семейством уравнений, рассматриваемых при фиксированном значении параметра.

Введение параметра способствовало появлению качественно новых типов задач, вдохнуло, если так можно выразиться, новую жизнь в такие традиционные виды задач, как решение уравнений и неравенств.

1. Решить уравнение:.

Решение. Возводим обе части в квадрат (условие ):

Еще раз возводим в квадрат (условие ). Получаем окончательное уравнение

,

среди решений, которого надо найти те, для которых Получившееся уравнение имеет четвертую степень относительно неизвестного , но зато является квадратным относительно параметра . Попробуем этим обстоятельством воспользоваться:

Найдем дискриминант:

Теперь левая часть уравнения раскладывается на множители

Наше уравнение распадается на два:

и ,

каждое из которых надо решить при условии, что

Начнем с уравнения . Поскольку то из того, что , следует, что . Значит, нам достаточно найти лишь те решения, для которых ; тогда неравенство будет выполняться автоматически. Но сумма корней (если они есть) равна ; следовательно, уравнение может иметь лишь один неотрицательный корень при условии . Значит, при будет .

Перейдем ко второму уравнению . Из этого уравнения . Левая часть неположительная, правая неотрицательная. Равенство возможно лишь, если .

Ответ. Если , то ;

если , то ;

при остальных решений нет .

2. При каких значениях параметра а уравнение имеет корни сумма которых равна нулю?

Решение. Это уравнение – квадратное, его дискриминант

.

Сумма корней уравнения равна и по условию задачи она равна нулю, т.е. , что возможно при . Теперь необходимо осуществить контроль неотрицательности дискриминанта при этих значениях . При дискриминант положителен, тогда как при дискриминант оказывается отрицательным.

Великая педагогика:

Причины трудностей и ошибок младших школьников в разборе слов по составу
Вопрос о причинах ошибок, которые допускают дети при разборе слова по составу специально изучали психологи Л.И. Бажович, Д.Н. Богоявленский и др. Они пришли к выводу, что среди младших школьников немало «наивных семантиков» и «стихийных формалистов». Первые, анализируя слово, учитывают только его л ...

Направления воспитания толерантности у младших школьников в школесоциализация толерантность школьный возраст
Воспитание толерантности в школе у младших школьников представляет собой целенаправленный, планомерно организованный процесс. Воспитание толерантности не может и не должно быть эпизодическим, оно даст хорошие всходы лишь в том случае, когда проблема воспитания толерантности будет решаться ежедневно ...

Системный подход к определению понятий физического воспитания
Актуальность системного подхода к определению основных понятий физического воспитания обусловлена прежде всего необходимостью уточнения соотношения данных понятий с ведущими общепедагогическими понятиями и категориями. Например, в настоящее время вызывает большое сомнение чрезмерно широкое использо ...