Производная и ее применение

(2)

Второе дифференцирование дает ускорение:

т. е. ускорение постоянно.

Более типично для механики иное положение: известно ускорение точки a(t) (в нашем случае оно постоянно), требуется найти закон изменения скорости u (t), а также найти координату s (t). Иными словами, по заданной производной u′(t), равной a (t), надо найти u (t), а затем по производной s′(t), равной u (t), найти s (t). {LINKS}

Для решения таких задач служит операция интегрирования, обратная операции дифференцирования.

Определение. Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка

F'(x)=f(x).

Показательная и логарифмическая функции

1. Определение корня. С понятием квадратного корня из числа, а вы уже знакомы: это такое число, квадрат которого равен а. Аналогично определяется корень п-й степени из числа а, где п — произвольное натуральное число.

Определение. Корнем п-й степени из числа а называется такое число, п-я степень которого равна а.

Пример 1. Корень третьей степени из числа 27 равен 3, так как З3 = 27. Числа 2 и - 2 являются корнями шестой степени из числа 64, поскольку 26 = 64 и (- 2)6 = 64.

Согласно данному определению корень п-я степени из числа а — это решение уравнения хп = а. Число корней этого уравнения зависит от п и а. Рассмотрим функцию f (х) = хп. Как известно, на промежутке [0; ∞) эта функция при любом п возрастает и принимает все значения из промежутка [0; ∞). По теореме о корне уравнение хп = а для любого а [0; оо) имеет неотрицательный корень и притом только один. Его называют арифметическим корнем п-й степени из числа an обозначают ; число п называется показателем корня, а само число а — подкоренным выражением. Знак корня √ называют также радикалом.

Определение. Арифметическим корнем п-й степени из числа а называют неотрицательное число, п-я степень которого равна а.

При четных п функция f(x) = xn четна. Отсюда следует, что если а>0, то уравнение хп = а, кроме корня х1 = , имеет также корень х2 = - ,. Если а = 0, то корень один: х = 0; если а<0, то это уравнение корней не имеет, поскольку четная степень любого числа неотрицательна.

Итак, при четном п существуют два корня п-й степени из любого положительного числа а; корень п-й степени из числа 0 равен нулю; корней -четной степени из отрицательных чисел не существует.

При нечетных значениях п функция f(x) = xn возрастает на всей числовой прямой; ее область значений — множество всех действительных чисел. Применяя теорему о корне, находим, что уравнение хп — а имеет один корень при любом а и, в частности, при а<0. Этот корень для любого значения а (в том числе и а отрицательного) обозначают

Итак, при нечетном п существует корень п-й степени из любого числа а и притом только один.

Для корней нечетной степени справедливо равенство

В самом деле,

т.е. число —есть корень n-й степени из — а. Но такой корень при нечетном п единственный. Следовательно,

Великая педагогика:

Воспитание в семье
Ведущую роль в формировании юных римлян играло домашнее обучение и воспитание. Первоначально римская педагогия ограничивалась патриархальным семейным воспитанием, с главной ролью матери. В родном семействе дети, как мальчики, так и девочки, рано приучались к опрятности, решительности, простоте и бл ...

Экспериментальная работа по изучению свойств арифметических действий по авторским учебникам
При изучении данной проблемы решили провести небольшую экспериментальную работу. Базой экспериментальной работы был Башкирский лицей им.Р. Уметбаева г. Сибай. С этой целью мы провели уроки по учебникам Н.Б. Истоминой и М.И. Моро. Урок 1. Тема: Переместительное свойство сложения (учебник Н.Б. Истоми ...

Методические особенности решения нестандартных задач
Главная цель задач ‑ развить творческое и математическое мышление учащихся, заинтересовать их математикой, привести к "открытию" математических фактов. Я считаю, что достичь этой цели с помощью обычных стандартных задач невозможно. Опыт использования ряда нестандартных задач показыв ...