Производная и ее применение

Часто нас интересует не значение какой-либо величины, а ее изменение. Например, сила упругости пружины пропорциональна удлинению пружины; работа есть изменение энергии; средняя скорость — это отношение перемещения к промежутку времени, за который было совершено это перемещение, и т. д. {LINKS}

При сравнении значения функции f в некоторой фиксированной точке х0 со значениями этой функции в различных точках х, лежащих в окрестности х0, удобно выражать разность f (х) — f (х0) через разность х — х0, пользуясь понятиями «приращение аргумента» и «приращение функции». Объясним их смысл.

Пусть х — произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки х0. Разность х — х0 называется приращением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке х0 и обозначается ∆х;. Таким образом,

∆х=х-х0,

откуда следует, что х=х0+∆х

Говорят также, что Первоначальное значение аргумента х0 получило приращение ∆х. Вследствие этого значение функции f изменится на величину

f(x) – f(x0) = f(x0+∆х) – f(x0)

Эта разность называется приращением функции f в точке х0, соответствующим приращению ∆х, и обозначается символом ∆f (читается «дельта эф»), т. е. по определению

∆f = f(x0+∆х) – f(x0)

откуда

f(x) = f(x0+∆х) = f(x0) ∆f

Обратите внимание: при фиксированном x0 приращение ∆f есть функция от ∆х.

∆f называют также приращением зависимой переменной и обозначают через ∆у для функции y = f(x).

Пример: Дан куб с ребром а. Выразим погрешность ∆V, допущенную при вычислении объема этого куба, если погрешность при измерении длины ребра равна ∆х. По определению приращения х = a + ∆x, тогда

Рассмотрим график функции y = f(x). Геометрический смысл приращений ∆х и ∆f (приращение ∆f обозначают также ∆у) можно понять, рассмотрев рисунок 80.

Прямую l, проходящую через любые две точки графика функции l, называют секущей к графику f. Угловой коэффициент k секущей, проходящей через точки (х0; y0) и (х; у), равен .

Его удобно выразить через приращения ∆х и ∆у.

(Напомним, что угловой коэффициент прямой y = kx+b равен тангенсу угла а, который эта прямая образует с осью абсцисс.)

С помощью введенных обозначений приращений удобно также выражать среднюю скорость движения за промежуток времени [t0;t0+∆t]. Если точка движется по прямой и известна ее координата х(t), то

Эта формула верна и для ∆t<0 (для промежутка [t0 + ∆t; t0]). В самом деле, в этом случае перемещение точки равно х (t0) — x(t0 + ∆x); длительность промежутка времени равна —∆t, и, следовательно,

Аналогично выражение называют средней скоростью изменения функции на промежутке с концами x0 и x0+∆х.

Первообразная и интеграл

Вспомним пример из механики. Если в начальный момент времени t = 0 скорость тела равна 0, т. е. u (0) = 0, то при свободном падении тело к моменту времени t пройдет путь

(1)

Формула (1) была найдена Галилеем экспериментально. Дифференцированием находим скорость:

Великая педагогика:

Роль контроля и самоконтроля при организации самостоятельной работы учащихся по иностранному языку
Задача «учить учиться» предполагает чёткое руководство самостоятельной работой со стороны учителя. Надо иметь в виду, что самостоятельная работа в учебных условиях является лишь относительно самостоятельной. Учащиеся испытывают на себе косвенное воздействие обучающей стороны, которое распространяет ...

Методика использования предметно-развивающей среды как средство экологического воспитания
Одним из важнейших культурообразующих компонентов среды жизни дошкольника является экологический компонент. Под «экологией детства» можно понимать организацию такого образовательного пространства, которая бы сохраняла истинно человеческую гуманитарную составляющую в развитии ребёнка. Основа экологи ...

Характеристика нарушения зрения у детей
Под остротой зрения подразумевается “способность глаз видеть раздельно две светящиеся точки при минимальном расстоянии между ними”. За нормальную остроту зрения принимается “способность различать детали объекта под углом зрения, равным 1 минуте” В зависимости от степени снижения остроты зрения на л ...