Правила и теоремы теории вероятностей

Формула Бейеса

Пусть в условиях рассуждения, относящегося к формуле полной вероятности, произведено одно испытание, в результате которого произошло событие А. Спрашивается: как изменились (в связи с тем, что событие А уже произошло) ве­личины P(Bk), k = 1, . , п. {LINKS}

Найдем условную вероятность РA(Вk).

По теореме умножения вероятностей и формуле (3) имеем:

Отсюда:

Наконец, используя формулу полной вероятности, находим

(k=1, 2, …, n). (7)

Формулу(7) называют формулой Бейеса (Байеса)

Пример. Большая популяция людей разбита на две группы одинаковой численности. Диета одной группы отличалась высоким содержанием ненасыщенных жиров, а диета контрольной группы была богата насыщенными жирами. После 10 лет пребывания на этих диетах возникновение сердечнососудистых заболеваний составило в этих группах соответственно 31% и 48%. Случайно выбранный из популяции человек имеет сердечно-сосудистое заболевание. Какова вероятность того, что этот человек принадлежит к контрольной группе?

Введем обозначения для событий:

А - случайно выбранный из популяции человек имеет сердечно-сосудистое заболевание;

B1 - человек придерживался специальной диеты;

В2 - человек принадлежал к контрольной группе. Имеем

Р(В1) = Р(В2) = 0,5,

(A) = 0,31, (A) = 0,48.

Согласно формуле полной вероятности

Р(А) = 0,5 ∙ 0,31 + 0,5 ∙ 0,48 = 0,395

и, наконец, в силу формулы (7) искомая вероятность

.

Таким образом, можно привести много разнообразных примеров случайных величин. Все же и в мире случайностей обнаруживаются определенные закономерности. Математический аппарат для изучения таких закономерностей и дает теория вероятностей. Она занимается математическим анализом случайных событий и связанных с ними случайных величин.

Для решения задач по теории вероятностей следует применять следующие теоремы: сложения вероятностей несовместимых событий, умножения вероятностей, сложений вероятностей совместимых событий; формулы: полной вероятности, Бейеса (Байеса).

Одной из форм дифференцированного обучения по курсу теории вероятностей может являться факультативный курс.

Великая педагогика:

Формирование навыков межличностного взаимодействия у детей младшего и среднего дошкольного возраста
Работа воспитателя многогранна. В процессе обучения детей воспитатель использует различные формы, виды и содержания работы, и вся его деятельность (здесь имеется в виду именно роль и место воспитателя в системе взаимодействия всех участников образовательного процесса в целом) направлена на всесторо ...

Формирование коммуникативных компетенций учащихся: подходы, задачи, принципы
Формирование ключевых компетенций становится сегодня главной целью обучения, так как дает ученику возможность повысить свои учебные достижении решает вопросы снижения дефицита общения в обществе. Формирование компетенций учащихся в процессе обучения представлено в документах об образовании: "С ...

Особенности педагогического контроля и оценки успеваемости учащихся
Закон Российской федерации "Об образовании" провозглашает в качестве одного из основных принципов государственной политики адаптивность системы образования к уровням и особенностям развития учащихся. Педагогический контроль (ПК) является важнейшим компонентом педагогической системы и част ...