Пример 3. Вероятность выживания одного организма в течение 20 мин Р = 0,7. В пробирке с благоприятными для существования этих организмов условиями находятся только что родившиеся 2 организма. Какова вероятность того, что через 20 минут они будут живы? {LINKS}
Пусть событие А - первый организм жив через 20 мин, событие В - второй организм жив через 20 мин. Будем считать, что между организмами нет внутривидовой конкуренции, т.е. события А и В независимы. Событие, что оба организма живы, есть событие АВ. По теореме 2 получаем Р(АВ) = 0,7 ∙ 0,7 = 0,49 .
Теорема сложения вероятностей совместимых событий
Теорема. Вероятность суммы двух совместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ). (5)
Доказательство. Пусть из всего числа n элементарных событий k благоприятствуют событию А, l - событию В и m - одновременно событиям А и В. Отсюда событию А + В благоприятствуют к + 1 - m элементарных событий. Тогда
Р(А+В)= = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)
Замечание. Если события А и В несовместимы, то их произведение АВ есть невозможное событие и, следовательно, Р(АВ) = 0, т.е. формула (1) является частным случаем формулы.
Пример. В посевах пшеницы на делянке имеется 95% здоровых растений. Выбирают два растения. Определить вероятность того, что среди них хотя бы одно окажется здоровым.
Введем обозначения для событий:
А1- первое растение здоровое;
А2 - второе растение здоровое;
А1+A2 - хотя бы одно растение здоровое.
Так как события А1 и А2 совместимые, то согласно формуле (5)
P(А1+ А2) = P(А1) + P(А2) = 0,95 + 0,95 - 0,95 · 0,95 = 0,9975 ≈ 1 .
Формула полной вероятности
Теорема. Вероятность события А, которое может нacmупить лишь при условии появления одного из n попарно несовместимых событий В1, В2, . Вn , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:
(6)
(формула полной вероятности).
Доказательство. Событие А может наступить лишь при условии наступления одного из событий B1, В2, ., Bn, т.е. А = B1 А + В2А + . +, BnА причем ввиду несовместимости событий B1, В2 , ., BnА события B1А, В2А, ., BnА также несовместимы. По этому на основании теорем сложения и умножения вероятностей имеем
Пример 1. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом находят две белые мыши и одна серая, во втором - три белые и одна серая, в третьей две белые и две серые мыши. Какова вероятность того, что из наугад выбранного ящика будет извлечена белая мышь?
Обозначим: B1 - выбор первого ящика, B2 - выбор второго ящика, В3 - выбор третьего ящика, А - извлечение белой мыши. Так как все ящики одинаковы, то P(В1)= Р(В2) = Р(В3) =.
Если выбран первый ящик, то (А) =
. Аналогично
(А) =
,
(A) =
. Наконец, по формуле (6) получаем
[8, 22].
Великая педагогика:
Историографический анализ состояния исследуемой
проблемы
Система образования - это система программирования и перепрограммирования общества. Считается, что именно в возрасте от 7 до 20 лет у среднего человека наиболее просто сформировать базовую платформу мировоззрения из основных достижений человечества. Конец ХХ века - это время информационного взрыва, ...
Психолого-педагогические основы технологии использования проектной методики
в обучении иностранным языкам
В данном параграфе предпринята попытка рассмотрения психолого-педагогических основ использования проектной методики с учётом специфики иностранного языка как учебного предмета на старшей ступени обучения в средней общеобразовательной школе, который включает следующие положения: роль ИЯ как учебного ...
Двигательное обучение и тренировка
Очень близка к упражнениям тренировка, которую часто рассматривают как особую форму упражнений. В настоящее время под тренировкой принято понимать такие особенно интенсивные и планомерно ведущиеся упражнения, которые целиком и полностью служат достижению чисто спортивных целей, совершенствованию те ...