Из приведенного классического определения вероятности вытекают следующие ее свойства.
Свойства классического определения вероятности
1. Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, достоверному событию должны благоприятствовать все n элементарных событий, т.е. m = n и, следовательно, {LINKS}
Р(А)= ==1.
2. Вероятность невозможного события равна нулю. В самом деле, невозможному событию не может благоприятствовать ни одно из элементарных событий, т.е. m = 0, откуда
Р(А)= ==0.
3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.
Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных событий. Поэтому в этом случае 0 < m < n и, значит, 0 < < 1. Следовательно, 0 < Р(А) < 1.
Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству, 0 Р(А) 1.
Статистическое определение вероятности
Классическое определение вероятности не является пригодным для изучения произвольных случайных событий. Так, оно неприемлемо, если результаты испытания не равновозможны. Например, при бросании неправильной игральной кости выпадение ее различных граней не равновозможно.
В таких случаях используется, так называемое, статистическое определение вероятности.
Пусть произведено n испытаний, при этом некоторое событие А наступило m раз (m < n).
Число m называют абсолютной частотой (или просто частотой) события А, а отношение Р*(А) = называют относительной частотой события А.
При транспортировке из 10 000 арбузов испортилось 26. Здесь m = 26 - абсолютная частота испорченных арбузов, а Р*(А) = = 0,0026 - относительная.
Результаты многочисленных опытов и наблюдений помогают заключить: при проведении серий из n испытаний, когда число сравнительно мало, относительная частота Р*(А) принимает значения, которые могут довольно сильно отличаться друг от друга. Но с увеличением n - числа испытаний в сериях – относительная частота Р*(А) = приближается к некоторому числу Р(А), стабилизируясь возле него и принимая все более устойчивые значения.
Было проведено 10 серий бросаний монеты, по 1000 бросаний в каждой. Относительные частоты выпадения герба оказались равными 0,501 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500; 0,497; 0,494; 0,484. Эти частота группируются около числа 0,5.
По официальным данным шведской статистики относительные частоты рождения девочек по месяцам 1935 г. характеризуются следующими числами (расположены в порядке следования месяцев, начиная с января): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,47. Эти частоты группируются около числа 0,482.
Относительная частота события приближенно совпадает с его вероятностью, если число испытаний достаточна велико. Имеется огромный опытный материал по проверке последнего утверждения. Укажем еще один такой пример с бросанием монеты.
Великая педагогика:
Этапность, средства, методы и приемы формирования коммуникативных
умений у детей старшего дошкольного возраста
Современные исследователи предлагают различные способы формирования коммуникативных умений у детей при организации на практике совместной деятельности взрослого с детьми. В частности, Н.А. Короткова раскрывает такие способы, как тематическое планирование видов детской деятельности и мотивация с исп ...
Рекомендации по
использованию компьютерных средств при изучении курса математики 5-6 классов
Для того, чтобы подготовить и провести хороший урок математики учителю необходимо предварительно составить подробное тематическое планирование, содержащее следующие разделы: тема, цель, методические особенности, компьютерные средства. В разделе «Тема» определено место каждой темы в курсе и включены ...
Мотивация изучения теорем
При введении теоремы можно условно выделить следующие этапы ее изучения: мотивация изучения теоремы и раскрытие ее содержания (усмотрение геометрического факта и формулировка теоремы); работа нал структурой теоремы; мотивация необходимости доказательства теоремы; построение чертежа и краткая запись ...